✎☛ Raisonnement par disjonction de cas

Méthode

On considère une propriété qui dépend d'une variable. On veut démontrer cette propriété. Effectuer un raisonnement par disjonction de cas, c'est séparer le raisonnement suivant les valeurs que peut prendre cette variable : on étudie tous les cas possibles en faisant en sorte de restreindre le nombre de cas à étudier.

Énoncé

Démontrer que la différence des carrés de deux entiers impairs est un multiple de \(8\) .

Solution

On considère deux entiers impairs \(m\) et \(n\) .
Donc il existe deux entiers naturels   \(a\) et \(b\) tels que : \(m=2a + 1\) et \(n=2b + 1\)
On a :  \(m^2-n^2=(2a + 1)^2 - (2b + 1)^2 = 4a^2 + 4a - 4b^2 - 4b\) .

On factorise l'expression : 
\(4a^2 +4a - 4b^2 - 4b = 4(a - b)(a + b) + 4(a - b) = 4(a - b)(a + b + 1)\) .

On effectue une disjonction de cas selon la parité de​   \(a\) et \(b\) ​ :

• Si \(a\) et \(b\)  sont pairs tous les deux, alors \(a - b\) est pair, donc \(4(a - b)\) est un multiple de \(8\) et donc \((2a + 1)^2 - (2b + 1)^2\) est un multiple de \(8\) .
  
• Si \(a\) et \(b\)   sont impairs tous les deux, alors   \(a - b\)   est pair, donc   \(4(a - b)\)   est un multiple de \(8\) et donc \((2a + 1)^2 - (2b + 1)^2\) est un multiple de \(8\) .
  
• Si  \(a\)   est pair et   \(b\)   est impair, alors  \(b + 1\) est pair et l'expression \(a + b + 1\) est paire.  Donc   \(4(a + b+1)\)   est un multiple de \(8\) et donc \((2a + 1)^2 - (2b + 1)^2\) est un multiple de \(8\) .
  
• Si  \(a\)   est impair et   \(b\)   est pair, alors  \(a + 1\) est pair et l'expression \(a + b + 1\) est paire. Donc   \(4(a + b+1)\)   est un multiple de \(8\) et   donc \((2a + 1)^2 - (2b + 1)^2\) est un multiple de \(8\) .
  

Conclusion : on a montré la propriété dans les quatre cas de parité possibles pour \(a\) et \(b\) , donc la propriété est vraie pour tous entiers \(m\) et \(n\)  impairs.